গণিতের জগতে মৌলিক সংখ্যাগুলো এক রহস্যময় চরিত্র।

২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭ ইত্যাদি অসীম ধারায় ছড়িয়ে থাকা এই সংখ্যাগুলোর কোনো সহজ বিন্যাস সচরাচর চোখে পড়ে না। তবে গাণিতিক যুক্তি প্রয়োগ করলে এদের ভেতরে বেশ চমৎকার কিছু বৈশিষ্ট্য খুঁজে পাওয়া সম্ভব। এমনই একটি গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম হলো—২ ও ৩ ব্যতীত অন্য যেকোনো মৌলিক সংখ্যাকে 6k+1 অথবা 6k-1 আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে k একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। কারণ, সব পূর্ণসংখ্যাই ওই ছয় ভাগের কোনো একটিতে পড়ে। বাকি থাকে শুধু 6k + 1 আর 6k + 5।

যেকোনো পূর্ণসংখ্যাকে ৬ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ ০, ১, ২, ৩, ৪ বা ৫ হতে পারে। এই যুক্তি থেকে সব সংখ্যাকে ছয়টি ভিন্ন রূপে সাজানো যায়: 6k, 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4, ও 6k+5। এখন দেখা যাক কোনগুলো মৌলিক হওয়ার যোগ্য আর 6k + 5 = 6(k + 1) -1, অর্থাৎ এটিকে 6k – 1 আকারেও লেখা যায় (k-এর জায়গায় k + 1 নিয়ে)। ১৭ = ৬(৩) – ১, ১৯ = ৬(৩) + ১, ২৩ = ৬(৪) – ১, ২৯ = ৬(৫) – ১, ৩১ = ৬(৫) + ১। কিন্তু একটি মৌলিক থেকে পরের মৌলিক কত দূরে, তা কেউ জানে না, তাই ‘পরের ধাপ’ ধরা যায় না। তাই গুণফলে ২ × ৪ = ৮ আছে।

মৌলিক সংখ্যার শ্রেণিবিন্যাস

• 6k: এটি ৬-এর গুণিতক, তাই মৌলিক নয়।
• 6k+2 = 2(3k+1): সব সময় জোড় সংখ্যা, তাই ২ ছাড়া অন্য কোনো মৌলিক নয়।
• 6k+3 = 3(2k+1): সব সময় ৩ দিয়ে বিভাজ্য, তাই ৩ ছাড়া মৌলিক নয়।
• 6k+4 = 2(3k+2): এটিও জোড় সংখ্যা, তাই মৌলিক নয়।

উপরোক্ত বিশ্লেষণ অনুযায়ী, কেবল 6k+1 এবং 6k+5 আকারে থাকা সংখ্যাগুলোই মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা রাখে। আবার, 6k+5-কে 6(k+1)-1 হিসেবে লিখলে তা 6k-1 আকার ধারণ করে। তাই ৩-এর চেয়ে বড় প্রতিটি মৌলিক সংখ্যা অবশ্যই 6k±1 কাঠামোর হয়। তবে লক্ষ্য রাখা জরুরি, এই নিয়মে থাকা সব সংখ্যাই মৌলিক নয়; যেমন k=4 হলে 6(4)+1=25, যা ৫-এর বর্গ। সুতরাং ৩–এর চেয়ে বড় প্রতিটি মৌলিক সংখ্যা 6k + 1 অথবা 6k – 1 আকারের। তাই এই নিয়ম মৌলিক খোঁজার জায়গা ছোট করে দেয়, মৌলিক বানায় না। আরোহে দেখাতে হয়, n – এ সত্য হলে n + 1-এ সত্য।

মৌলিক সংখ্যার চমকপ্রদ গাণিতিক বৈশিষ্ট্য

• যমজ মৌলিকের গুণফল: ব্যবধান ২ এমন দুটি মৌলিক সংখ্যা (৫,৭ বা ১১,১৩) হলে, তাদের গুণফলের সাথে ১ যোগ করলে তা সবসময় ৩৬ দিয়ে বিভাজ্য এবং একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়।
• বর্গের বিশেষ নিয়ম: ৩-এর চেয়ে বড় যেকোনো মৌলিক সংখ্যার বর্গের (p²) থেকে ১ বিয়োগ করলে তা সব সময় ২৪ দিয়ে বিভাজ্য হয়।

এই প্রমাণের ক্ষেত্রে গাণিতিক আরোহ বা ইনডাকশন পদ্ধতি কার্যকর নয়, কারণ এক মৌলিক থেকে পরের মৌলিকের দূরত্ব সুনির্দিষ্ট নয়। এখানে গাণিতিক আরোহ (Mathematical Induction) খাটে না।

এর পরিবর্তে ভাগশেষের যুক্তি ব্যবহার করে সংখ্যাগুলোকে ভিন্ন দলে ভাগ করে মৌলিকত্বের সম্ভাবনা যাচাই করাই সবচেয়ে কার্যকর উপায়।

এ ধরণের গাণিতিক সৌন্দর্য সম্পর্কে বিস্তারিত জানা যায় আহমেদ জাওয়াদ চৌধুরী ও তামজীদ মোর্শেদ রুবাব রচিত ‘গণিতের স্বপ্নযাত্রা’ বইগুলোতে। এই প্রমাণ আমি ভালোভাবে শিখেছি আহমেদ জাওয়াদ চৌধুরী ও তামজীদ মোর্শেদ রুবাবের গণিতের স্বপ্নযাত্রা-১: আর্ট অব প্রবলেম সলভিং আর গণিতের স্বপ্নযাত্রা-২: গণিত অলিম্পিয়াডের প্রথম ধাপ বই থেকে। সহযোগিতায়: বাংলাদেশ গণিত অলিম্পিয়াড কমিটি।

শেষে একটি ধাঁধা: ৩-এর চেয়ে বড় যেকোনো মৌলিক সংখ্যার বর্গকে ১২ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত থাকে? ভাগশেষের একটি সহজ খেলায় প্রমাণ হয়ে যায় মৌলিক সংখ্যার এক সুন্দর নিয়ম।

সঠিক উত্তর হলো ১, কারণ (p²-1) ২৪ দিয়ে বিভাজ্য হওয়ায় তা ১২ দ্বারাও নিঃশেষে বিভাজ্য।

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• ∎ 6k + 2 = 2(3k + 1): সব সময় জোড়, তাই ২ ছাড়া মৌলিক নয়।
• (৫, ৭), (১১, ১৩), (১৭, ১৯), (২৯, ৩১)… ৩-এর পরের যমজ মৌলিকেরা সব সময় 6k – 1 আর 6k + 1। কারণ, 6k ± 1 ছাড়া অন্যরূপে যমজ সম্ভব নয়। এবার এদের গুণ করে ১ যোগ করো।
• অর্থাৎ ফল সব সময় একটি পূর্ণবর্গ, আর ৩৬ দিয়ে বিভাজ্য! মিলিয়ে দেখো: ৫ × ৭ + ১ = ৩৬, ১১ × ১৩ + ১ = ১৪৪, ১৭ × ১৯ + ১ = ৩২৪ = ১৮ ২।
• ∎ দ্বিতীয় চমক: p 2 – 1 আর ২৪।
• ৫ ২ – ১ = ২৪, ৭ ২ – ১ = ৪৮, ১১ ২ – ১ = ১২০, ১৩ ২ – ১ = ১৬৮।